Sofismul lui Curry

Sofismul lui Curry, un paradox explicat printr-o iluzie optică

Sofismul lui Curry este unul dintre paradoxurile care demonstrează că ochii noștri, de cele mai multe ori, ne înșeală. Realitatea nu este întotdeauna ceea ce pare și lucrurile pot exista și nu pot exista în același timp.

Puzzle-ul triunghiului sau Puzzle-ul pătratului lipsa, cunoscut şi sub denumirea de “Sofismul lui Curry” sau “Paradoxul disecţiei triunghiului”,  se referă la o iluzie optică în care, rearanjând 4 figuri geometrice, apare, în mod paradoxal, o gaură.

Acest puzzle a fost inventat în 1953 de magicianul New Yorkez Paul Curry şi a fost discutat ulterior de renumitul matematician american Martin Gardner.

Acest puzzle al triunghiului este reprezentat prin 2 aranjamente de figuri geometrice, fiecare dintre ele formând în aparenţă un triunghi dreptunghic, cu catetele de lungimi 13 şi 5 unităţi, dar unul dintre triunghiuri are în interior o gaură – un pătrat de latura 1.

Se pune întrebarea: de unde a apărut pătratul lipsa? În videoclipul următor se reprezintă modul de obţinere a acestui puzzle paradoxal:

După cum se vede din videoclip, acest puzzle se obţine astfel: considerăm un triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi 13 şi 5; în acest triunghi sunt incluse 2 triunghiuri dreptunghice mai mici, cu catetele de 8 şi 3, respectiv 5 şi 2.

Aceste două triunghiuri mai mici se pot potrivi în unghiurile ascuţite ale triunghiului mare în 2 moduri; într-unul din moduri aceste triunghiuri încadrează un dreptunghi de dimensiuni 5 x 3 (deci de arie 15), iar în celălalt mod se obţine un dreptunghi de arie 16 (8 x 2) în interior. Paradoxul este dat de diferenţa ariilor.

Soluţia aparentului paradox: Este o iluzie optică!


Diferenţa ariilor (adică pătratul lipsa) apare deoarece niciuna din cele 2 figuri geometrice care ar trebui să fie triunghiurile de 13 x 5 nu sunt triunghiuri, întrucât latura care ar trebui să fie ipotenuza este de fapt o linie frântă (i.e. nu este o linie dreaptă, ci este formată din 2 segmente ce formează un unghi obtuz, şi nu unul alungit – de 180 grade).

Puzzle-ul care a generat acest paradox este de fapt o iluzie optică: una din ipotenuzele celor două triunghiuri mari este concava (“îndoită” spre interior), iar cealaltă convexa (“îndoită” spre exterior). Diferenţa de arii – care este tocmai aria pătratului lipsa – provine din suma ariilor triunghiurilor ce reprezintă “abaterea de la linia dreaptă” a ipotenuzei: triunghiul determinat de punctele (0,0), (8,3), (13,5) are aria 1/2, iar cel determinat de punctele (0,0), (5,2), (13,5) are aria tot 1/2; suma acestor 2 arii ale acestor abateri este 1, adică aria pătratului lipsa (cu latura 1) care apare.

Deşi faptul că aşa-zisele ipotenuze sunt de fapt linii frânte este foarte greu de observat cu ochiul liber, iată 3 observaţii simple care demonstrează acest lucru:

  • cele 4 figuri geometrice (cea albastră, roşie, galbenă şi verde) au o arie totală de 32 de unităţi ( (2 x 5)/2 + (3 x 8)/2 + 7 + 8 = 32 ), iar aria triunghiului mare este de 32,5 unităţi ( (13 x 5)/2 ).
  • cele 2 triunghiuri dreptunghice mai mici, incluse în triunghiul dreptunghic mare, nu sunt triunghiuri asemenea, deşi au catetele paralele două câte două, deoarece catetele lor nu sunt proporţionale (5/2 diferit de 8/3); nefiind asemenea, aceste triunghiuri dreptunghice nu au unghiurile ascuţite congruente, şi cum catetele de jos sunt paralele, rezultă că
  • ipotenuzele lor au pante diferite, deci nu sunt în prelungire; aşadar, “ipotenuza” mare este de fapt o linie frântă.
    în prima figură, cele 2 ipotenuze se întâlnesc în colţul unui pătrăţel, dar în cea de-a doua figură, acest punct de întâlnire nu mai este pe ipotenuza triunghiului mai mare, ci este dedesubt; la fel, în figură a doua, ipotenuzele se întâlnesc în colţul unui pătrăţel, iar acest punct este în prima figură deasupra ipotenuzei mari.
  • Astfel, suprapunând “ipotenuzele” frânte ale celor 2 mari triunghiuri dreptunghice din cele 2 figuri, se obţine un paralelogram foarte subţire, a cărui arie este de fapt aria pătratului lipsa care apare în a doua figură.

Şirul lui Fibonacci

Numerele întregi ce reprezintă dimensiunile figurilor care alcătuiesc puzzle-ul (2, 3, 5, 8, 13) sunt de fapt numere Fibonacci consecutive (au proprietatea că se obţin adunând ultimele 2 numere anterioare din şir). Pornind de la câteva proprietăţi simple ale Şirului lui Fibonacci, s-au obţinut multe alte puzzle-uri de disecţie aparent paradoxale.